Обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Глава 1. Плоские фигурные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1. Определения и формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2. Основные свойства многоугольных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3. Квадратные треугольные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4. Другие мультимногоугольные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5. Встречаемость данного числа среди всех многоугольных чисел . . 37
1.6. Центрированные многоугольные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.7. Другие плоские фигурные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.8. Обобщённые плоские фигурные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Глава 2. Пространственные фигурные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.1. Пирамидальные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.2. Кубические числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.3. Октаэдральные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.4. Другие правильные многогранные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.5. Некоторые полуправильные и звёздчатые многогранные числа . . 89
2.6. Центрированные пространственные фигурные числа . . . . . . . . . . 93
2.7. Другие пространственные фигурные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.8. Обобщённые пространственные фигурные числа . . . . . . . . . . . . . 113

Глава 3. Многомерные фигурные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.1. Пентатопные числа и их многомерные аналоги . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.2. Биквадратные числа и их многомерные аналоги . . . . . . . . . . . . . . 131
3.3. Другие правильные политопные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.4. Гнездовые числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.5. Пирамидальные числа второго порядка и их многомерные аналоги. . . 160
3.6. Центрированные многомерные фигурные числа . . . . . . . . . . . . . . 166
3.7. Обобщённые многомерные фигурные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Глава 4. Фигурные числа в теории чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.1. Таблицы сложения и умножения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.2. Треугольник Паскаля и бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.3. Диофантовы уравнения. Пифагоровы тройки . . . . . . . . . . . . . . . . 192
4.4. Совершенные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
4.5. Числа Мерсенна и Ферма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
4.6. Числа Фибоначчи и Люка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.7. Палиндромические числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.8. Другие специальные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
4.9. Простые числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.10. Магические конструкции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4.11. Разбиения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
4.12. Проблема Варинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Глава 5. Теорема Ферма о многоугольных числах . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.1. История задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.2. Теорема Лагранжа о четырёх квадратах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
5.3. Теорема Гаусса о трёх треугольных числах: элементарное рассмотрение. . . . . . 242
5.4. Доказательство теоремы Гаусса о трёх треугольных числах . . . . . . 245
5.5. Суммы квадратов и теорема Минковского о выпуклом теле . . . . . 256
5.6. Доказательство Коши теоремы о многоугольных числах . . . . . . . . 265
5.7. Доказательство Пепена теоремы о многоугольных числах . . . . . . 273
5.8. Другие результаты, связанные с теоремой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

Глава 6. Калейдоскоп чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

Глава 7. Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

Решения и указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346